旋转矩阵 & 变换矩阵

学习slam需要了解的一些知识。

旋转矩阵

一个单位正交基 $(\pmb{e_1}, \pmb{e_2}, \pmb{e_3})$ 经过一定的旋转得到 $(\pmb{e’_1}, \pmb{e’_2}, \pmb{e’_3})$, 它们之间的旋转矩阵为：

$$\pmb{R} =\left[ \begin{matrix} \pmb{e^T_1 e'_1} & \pmb{e^T_1 e'_2} & \pmb{e^T_1 e'_3} \\ \pmb{e^T_2 e'_1} & \pmb{e^T_2 e'_2} & \pmb{e^T_2 e'_3} \\ \pmb{e^T_3 e'_1} & \pmb{e^T_3 e'_2} & \pmb{e^T_3 e'_3} \end{matrix} \right]$$

旋转矩阵有一个重要的性质，它是一个行列式为1的正交矩阵。因此，旋转矩阵的集合可表示为：

$$SO(n)=\{\pmb{R} \in \mathbb{R}^{n\times n} | \pmb{RR^T=I, det(R)=1} \}$$

有了旋转矩阵，就可以表示一个向量在不同旋转坐标系之间的关系。
对于一个向量$\pmb{a}$, 它在两个坐标系中的坐标为$\pmb{a}=[a_1, a_2, a_3]^T$和$\pmb{a’}=[a’_1, a’_2, a’_3]^T$,可以得出：

$$\pmb{a}=\pmb{R}\pmb{a'}$$

由于旋转矩阵是正交矩阵，因此它的逆表示了一个相反的旋转，可得：

$$\pmb{a'}=\pmb{R^{-1}a}=\pmb{R^Ta}$$

变换矩阵

现在我们除了旋转外，再加上平移。对于一个世界坐标系中的向量$\pmb{a}$，经过一次旋转和平移后得到$\pmb{a’}$。可表示为 $\pmb{a’} = \pmb{Ra} + \pmb{t}$。但其中有一个比较麻烦的是，如果进行多次变换，表达式会变得过于复杂。因此，我们引入变换矩阵T：

$$\pmb{T}= \left[ \begin{matrix} \pmb{R} & \pmb{t} \\ \pmb{0^T} & 1 \end{matrix} \right]$$

然后，我们就可以得出：

$$\left[ \begin{matrix} \pmb{a'} \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \pmb{R} & \pmb{t} \\ \pmb{0^T} & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \pmb{a} \\ 1 \end{matrix} \right] = \pmb{T} \left[ \begin{matrix} \pmb{a} \\ 1 \end{matrix} \right]$$

通过上式，我们可以看出，对于多次的变换，表达式会相对简单。
变换矩阵T是一个特殊欧式群 $SE(3)$.